高光谱成像基础（六）滤波匹配 MF

在矿区影像中寻找某种矿物。在农田中识别某种作物。在城市遥感图像中检测某种材料。这类任务通常被称为高光谱目标检测Hyperspectral Target Detection。在之前介绍的 SAM 中我们已经见过一种非常直观的思路通过计算像素光谱与目标光谱之间的夹角来判断它们是否相似。但我们提到了SAM 只利用了光谱之间的几何关系并没有考虑背景噪声或波段之间的统计特性。在复杂背景环境下这种方法往往难以充分利用高光谱数据中包含的统计信息。正是在这样的背景下人们提出了一系列基于统计模型的目标检测方法其中最经典、也是最基础的一种方法便是滤波匹配Matched FilterMF。1. 什么是 MF ?#MF 的思想最初源自信号处理领域中的最优线性滤波理论Matched Filter Theory用于在已知信号形态的情况下从噪声背景中提取目标信号而在遥感和高光谱图像分析中这一方法被移植过来并针对光谱数据进行了适配。我们在上面已经提到过SAM 有一个明显的局限它只考虑光谱之间的几何关系而忽略了背景的统计特性和噪声结构。换句话说如果背景中存在高度相关的波段或较强的噪声即使像素并非目标SAM 也可能给出较高的匹配值。这就会导致目标检测的误报率升高特别是在高光谱数据的复杂场景下。打个比方假设你在嘈杂的房间里寻找某个人的声音。SAM 相当于只听声音的音色是否匹配却完全不考虑背景噪声——空调声、回声甚至其他人的声音都会干扰判断。于是一个自然的想法出现了如果我们能够在考虑背景噪声和统计特性的基础上进行匹配是否可以更准确地检测目标这正是 MF 的目标逻辑从历史上看MF 可以被认为是SAM 等光谱相似性方法的统计优化版本。它不仅关注目标光谱与像素光谱的匹配程度还同时考虑了背景的相关性和噪声结构因此在高光谱目标检测领域迅速成为经典方法之一。下面我们来简单展开其核心思想因为高光谱遥感数据本质上是每个波段的光强叠加而高光谱图像中的大部分像素都是背景它们可能包含地物、植被、土壤、水体等各种光谱组合随机性高。所有对于目标检测来说我们不关心每个背景像素的具体值而关心它们的统计特性因为我们可以利用这一点把背景和目标区分开。因此MF 对于背景和像素进行了如下假设由此我们将像素区分为目标信号和非目标信号两部分显然目标像素的光谱中前者占比更大而背景像素的光谱中后者占比更大。而最终我们就可以构造出一种变换形成这样的效果显然MF 的核心思想就是构造出图中所示的滤波器增强目标光谱、抑制背景噪声来实现更好的目标检测效果。总结来看MF 相比 SAM不仅衡量光谱匹配度还充分利用背景信息和噪声结构因此在复杂场景下具有更低的误报率和更高的鲁棒性。下面就来看看其具体过程2. MF 的具体过程#MF 在高光谱目标检测中的具体过程本质上就是构造一个针对目标光谱的线性变换让目标像素的响应尽可能高而背景像素的响应尽可能低。2.1 像素建模和背景估计#首先假设我们有一幅高光谱图像每个像素的光谱向量为 已知目标的参考光谱为 。由此我们把像素光谱建模为其中目标信号部分 表示目标在像素中的强度。背景信号非目标部分包含自然地物和噪声。这部分的逻辑其实和我们之前介绍的 MNF 中噪声建模的逻辑很相似其下一步也是相同的我们要估计背景信号的统计特性。在介绍估计方法前我们先明确一点在高光谱目标检测中像素仅分为两类目标像素与背景像素。即使图像中包含多种地物或可检测对象在当前任务中除目标外的一切均视为背景。这就像在超市里找苹果无论货架上还有香蕉、牛奶还是面包对我们而言只有两种东西是苹果和不是苹果。因此在目标检测场景中目标所占像素比例极小全图统计量主要由背景主导。目标对统计特性的污染可忽略。基于这点在高光谱目标检测中最常见的背景估计方法就是全局背景统计估计。假设图像中共有 个像素记为 {1,2,…,}则背景均值估计为^1∑1背景协方差估计为^1−1∑1(−^)(−^)⊤我们将由此得到的 ^ 和 ^ 作为背景统计特性的估计并用于后续滤波器设计。2.2 中心化#这部分较为简单就不再过多赘述。我们对数据进行中心化如下~−^,~−^此时模型变为~~~这一步的作用是让数据的均值变为 0 好在下一步中应用来确保模型一致性。2.3 构造匹配滤波器#在这一步我们的目标是设计一个线性检测器满足⊤~其中当 ~ 是目标像素时 尽可能大而当其是背景像素时 则尽可能小。而在这里我们需要用到信号处理领域里的最优线性检测理论它的内容如下:在背景服从高斯分布 ~∼(0,) 的假设下使输出信噪比最大的线性滤波器为:opt−1~注意这里是−1 与中心化后的参考光谱向量 ~ 的乘积。我们依然从语义上来理解这个公式首先我们在上面已经提到最终的滤波器可以突出目标而抑制背景这其实就是使输出信噪比最大。而 −1 是背景协方差矩阵的逆矩阵为什么要这么做这是因为背景由多种地物和噪声组成在不同波段表现出不同的波动强度某些波段背景变化剧烈方差大某些波段则相对平稳方差小且波段之间常存在光谱相关性。而 ~ 作为参考光谱是“统一的参考答案” 则是能反映出本任务数据中方差、协方差特点。因此我们可以让参考光谱根据本任务数据的特定进行一点“本地化”。所以 −1~ 使用 的逆矩阵就像是给参考光谱加了一个更适合本任务的自适应权重在背景方差大的波段−1 对应的权重变小抑制噪声。在背景方差小的波段权重变大信任信号。同时自动解耦相关波段协方差特性。在这里就来到下一个问题为什么 MF 要更信任方差小的波段来举一个例子如果某个纯背景像素在波段 1 出现一个偶然的高反射比如云、亮石块简单内积会误判为“像目标”因为目标也在波段 1 强但 MF 知道“波段 1 容易乱跳”所以不会轻易相信它从而降低虚警。反之如果目标出现在波段 2即使信号弱MF 会更确信这是“真信号”因为背景很少在那里波动。就像“狼来了”一样。于是我们将 opt 代入得到 MF 响应opt⊤~~⊤−1~这就是我们在高光谱目标检测中使用的匹配滤波器。此外实践中经常会再加入归一化分母让响应标准差变为1即服从标准正态分布利于阈值设定~⊤−1~~⊤−1~最终当对整幅高光谱图像的每个像素计算 MF 响应 就得到一幅MF 响应图。其中响应高的区域很可能是目标。响应低的区域多为背景。最后根据实际任务设定一个阈值 将响应大于 的像素标记为目标即可实现目标检测。2.4 一个完整实例#现在假设我们使用高光谱传感器在矿区探测一种含铁矿物为简化说明我们仅考虑3 个关键波段。首先已知目标参考光谱为[0.750.200.60]这表示波段 2 反射率低波段 1 和 3 反射较强。继续假定我们计算得到的全图背景均值估计为^[0.500.500.50]于是计算中心化后的参考光谱如下~−^[0.25−0.300.10]继续下一部分进行背景协方差矩阵估计如下^[0.090.060.030.060.040.020.030.020.01]可以发现波段 1 方差最大0.09受大气和地形影响大。波段 3 方差最小0.01最稳定。波段间存在正相关。于是我们计算协方差逆矩阵^−1≈[50−750−75150−500−50100]紧接着构造匹配滤波器权重如下opt^−1~≈[50−750−75150−500−50100][0.25−0.300.10][35.0−68.525.0]现在参考光谱就同时考虑了矿物的标准反射率和在任务数据中的方差大小。我们用以下三种检测方式进行对比方法检测器权重 说明简单内积1~[0.25, −0.30, 0.10]⊤忽略背景统计仅做光谱匹配匹配滤波器未归一化2^−1~≈[35.0, −68.5, 25.0]⊤考虑背景协方差自适应加权归一化 MF同上权重但输出除以 ~⊤^−1~≈5.64使响应具有统计可比性输入两个像素如下像素类型观测光谱 中心化后光谱 ~−^说明像素 A真实目标[0.74, 0.21, 0.61]⊤[0.24, −0.29, 0.11]⊤包含目标矿物光谱特征与参考光谱 高度一致。像素 B纯背景[0.78, 0.52, 0.51]⊤[0.28, 0.02, 0.01]⊤背景中偶然出现高反射仅波段 1 异常偏高其余波段接近背景均值。最终我们分别计算每种方法对两个像素的响应方法像素 A目标响应像素 B背景响应简单内积1()0.25⋅0.24(−0.30)⋅(−0.29)0.10⋅0.110.1581()0.25⋅0.28(−0.30)⋅0.020.10⋅0.010.065匹配滤波器未归一化2()35.0⋅0.24(−68.5)⋅(−0.29)25.0⋅0.11≈31.022()35.0⋅0.28(−68.5)⋅0.0225.0⋅0.01≈8.68归一化匹配滤波器3()31.02/5.64≈5.503()8.68/5.64≈1.54我们进行如下总结若直接使用简单内积目标和背景相应差距更小易虚警。若不归一化响应分别为 31.4 和 8.6范围较大难以设定阈值。若归一化 目标响应 ≈ 5.57背景响应 ≈ 1.52 此时响应服从标准正态分布的统一阈值3 。最后对整幅图像计算归一化 MF 响应得到响应图。 设定阈值 3标记所有 3 的像素为预测目标区域即可完成目标检测。3. MF 的优缺#MF 作为一种基于最优线性检测理论的目标探测方法广泛应用于高光谱图像中的已知目标检测任务。它通过利用目标参考光谱和背景统计特性构造一个最大化输出信噪比的线性检测器。尽管 MF 在许多场景下表现优异但它也依赖特定假设并存在局限性。3.1 MF 的优势#优点说明理论最优性在背景服从高斯分布的假设下MF 是使输出信噪比最大的线性检测器具有坚实的信号处理理论基础。能自适应抑制背景干扰通过引入背景协方差矩阵的逆 −1MF 能自动降低高噪声或高相关波段的权重增强对稳定波段的依赖从而有效抑制虚警。适用于弱小目标检测即使目标在像素中占比很小≪1只要其光谱特征与参考光谱一致MF 仍能通过信噪比最大化机制将其从复杂背景中凸显出来。归一化后支持统一阈值归一化 MF 响应近似服从标准正态分布使得不同目标、不同场景可使用统一的检测阈值如 3便于工程部署。3.2 MF 的不足#缺点说明依赖准确的背景统计估计MF 性能高度依赖对背景均值 ^ 和协方差 ^ 的准确估计若图像中目标占比过高或背景非均匀估计偏差会导致检测性能下降。需要已知参考光谱MF 只能检测已知光谱特征的目标无法用于未知目标或异常检测若参考光谱与真实目标存在较大偏差如光照、大气校正不一致检测效果会显著退化。对非高斯背景敏感MF 的最优性基于背景高斯假设当背景包含大量异常值、强非高斯分布如城市区域、云层时其虚警率可能升高。仍是单像素检测器忽略空间信息MF 仅利用光谱信息未考虑目标的空间连续性或形状特征在纹理复杂或光谱混淆区域易产生孤立虚警通常需结合后处理如形态学滤波提升结果。