卡瓦列里积分赏析

前微积分时代的先行者们个个硬核狂魔即使用现代的眼光来看他们奇技淫巧的背后都蕴藏着深刻的思想正是这些思想催生了现代科学。来看一下卡瓦列里积分。卡瓦列里 是一个伽利略时代的几何学家他独立发现了祖暅原理具有同样高度和恒等横截面积的几何体具有相同的体积这看似显而易见但背后却是一种降维的思想。当时尚无微积分基本概念卡瓦列里公开否认截面是一个 3 维但 “无限薄” 的片。当时人们对 “无限” 的认知模棱两可混用量纲的 “无限薄”“无限短” 更是令人不安卡瓦列里认定截面就是 2 维但他将 “无限” 抽象到了无量纲的数量即 “无限多 2 维截面积累成了 3 维体”。这在当时可谓打破常规。为说明这层意思卡瓦列里做了实例印证。如下图如图所示的三角形 abc显示了组成这个三角形的一些线 l卡瓦列里将这个区域的面积视为所有这些线的长度之和 ∑l整个矩形的面积等于所有长为 A 的线之和 ∑A。卡瓦列里推导的第一步基于一个事实:∑ l ∑ A 1 2 \dfrac{\sum l}{\sum A}\dfrac{1}{2}∑A∑l​21​即三角形面积是矩形面积的一半。接下来他尝试了将这些线段长度的平方相加。如果在每条线段上放一个面积为l 2 l^2l2的正方形就得到一个棱锥而人们早知道这个棱锥体积等于由边长 A 正方形堆叠而成的长方体体积的 1/3即∑ l 2 ∑ A 2 1 3 \dfrac{\sum l^2}{\sum A^2}\dfrac{1}{3}∑A2∑l2​31​有点意思了敏锐的人似乎已经能发现规律但不包括充其量止步于此的编程的人。紧接着卡瓦列里不得不脱离几何直观进入了未知这里将展示他的才智。他将继续尝试∑ l 3 ∑ A 3 ? \dfrac{\sum l^3}{\sum A^3}?∑A3∑l3​?正如数学式子可以描述非直观场景他借助了已知公式完成了工作( x y ) 3 ( x − y ) 3 2 x 3 6 x y 2 (xy)^3(x-y)^32x^36xy^2(xy)3(x−y)32x36xy2看看卡瓦列里如何 “凑” 出结果的。他并没有对当 l 从 A 递减到 0 时的l 3 l^3l3直接求和而是将其分成两部分之和一部分是当 l 从A 2 \dfrac{A}{2}2A​递减到 0 时的( A 2 l ) 3 (\dfrac{A}{2}l)^3(2A​l)3之和另一部分是当 l 从 0 递增至A 2 \dfrac{A}{2}2A​时的( A 2 − l ) 3 (\dfrac{A}{2}-l)^3(2A​−l)3之和即∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 ( ( A 2 l ) 3 ( A 2 − l ) 3 ) \sum_{0\le l\le A}l^3\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}((\dfrac{A}{2}l)^3(\dfrac{A}{2}-l)^3)∑0≤l≤A​l3∑0≤l≤2A​​((2A​l)3(2A​−l)3)Now他可使用已知公式大段演算了∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 ( 2 ⋅ ( A 2 ) 3 6 ( A 2 ) ⋅ l 2 ) 1 4 ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 A 3 3 A ∑ 0 ≤ l ≤ A 2 l 2 . . . \sum_{0\le l\le A}l^3\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}(2\cdot(\dfrac{A}{2})^36(\dfrac{A}{2})\cdot l^2)\dfrac{1}{4}\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}A^33A\sum_{0\le l\le\frac{A}{2}}l^2...∑0≤l≤A​l3∑0≤l≤2A​​(2⋅(2A​)36(2A​)⋅l2)41​∑0≤l≤2A​​A33A∑0≤l≤2A​​l2...反正就是一大堆小学水平的式子整理我高中的物理讲过如果你要搞物理数学就必须要有大段大段整理数学式子的能力我受益匪浅但我没有谨遵教诲。不管怎样卡瓦列里有这个能力最终得∑ 0 ≤ l ≤ A l 3 1 4 ∑ 0 ≤ l ≤ A A 3 \sum_{0\le l\le A}l^3\dfrac{1}{4}\sum_{0\le l\le A}A^3∑0≤l≤A​l341​∑0≤l≤A​A3卡瓦列里一直算到∑ l 9 \sum l^9∑l9在每种情形都使用他已知的等式( x y ) k ( x − y ) k 2 x k 2 C k 2 x k − 2 y 2 2 C k 4 x k − 4 y 4 . . . (xy)^k(x-y)^k2x^k2C_k^2x^{k-2}y^22C_k^4x^{k-4}y^4...(xy)k(x−y)k2xk2Ck2​xk−2y22Ck4​xk−4y4...最后表明对于 1≤ k ≤ 9都有∑ l k ∑ A k 1 k 1 \dfrac{\sum l^k}{\sum A^k}\dfrac{1}{k1}∑Ak∑lk​k11​发自信仰地可想而知当 k 9 时以上依然成立。好现在最关键地一步来了如果将如图矩形逆时针旋转 90°会发现卡瓦列里其实表明了曲线y a k ya^kyak0 ≤ a ≤ A 下的区域面积等于∑ 0 ≤ l ≤ A l k 1 k 1 ∑ 0 ≤ l ≤ A A k 1 k 1 ⋅ A k 1 \sum_{0\le l\le A}l^k\dfrac{1}{k1}\sum_{0\le l\le A}A^k\dfrac{1}{k1}\cdot A^{k1}∑0≤l≤A​lkk11​∑0≤l≤A​Akk11​⋅Ak1看看这是什么这难道不就是∫ x k d x 1 k 1 ⋅ x k 1 C \displaystyle\int x^k\text{d}x\dfrac{1}{k1}\cdot x^{k1}C∫xkdxk11​⋅xk1C吗全程卡瓦列里都在巧妙凑已知k ≤ 2他利用了面积体积关系k 2他利用了已知等式。不幸的是卡瓦列里不善表达导致其措辞晦涩难读当人们知道他的思想时笛卡儿已经建立能用图像表示出代数关系的解析几何人们已经找到求积分公式的更简单方法。在我看来卡瓦列里这个结果虽已很超前但手段却还是守旧。17 世纪是体系化形式化的前夜科学方法解析几何微积分牛顿力学均在 17 世纪创世卡瓦列里在他的几何代数技巧和直觉之外并没有更进一步当他的已经 k 到 9 时他甚至没有大声公开一个大胆的一般化猜测。在我前面的文章 从微积分看世界 中从与积分相逆的微分角度也可以用几乎同样的方法得到卡瓦列里一致的结论d V n ( x ) d x S n − 1 ( x ) \dfrac{\text{d}V_n(x)}{\text{d}x} S_{n-1}(x)dxdVn​(x)​Sn−1​(x)其中 x 为 n 维正立方体边长V 为其体积S 为其表面积。我与卡瓦列里思维方式一致换我是他亦无法超越。浙江温州皮鞋湿下雨进水不会胖。